Une distance minimale

Dans le fichier de géométrie dynamique suivant sont représentés, dans un repère orthonormé :

• la courbe représentative de la fonction logarithme népérien ;
  
• la tangente \((\mathcal T)\) à la courbe de la fonction logarithme népérien au point \(\text{A}\) ;
  
• le segment \([\text{OA}]\).

Partie A : conjecture

1. En le déplaçant sur la courbe, conjecturer la position du point \(\text{A}\) qui minimise la distance \(\text{OA}\). On admet que cette position existe et qu'elle est unique.
2. Quelle relation semble exister entre la droite tangente et la droite \((\text{OA})\) ?

Partie B : démonstration

Démontrer la propriété suivante.

Propriété
La distance \(\text{OA}\) est minimale lorsque la tangente à la courbe de la fonction logarithme népérien est perpendiculaire à la droite \((\text{OA})\).

Coups de pouce

• Définir une fonction représentant la distance \(\text{OA}\) en fonction de la position du point \(\text{A}\), puis établir une condition pour déterminer le minimum de cette fonction.
  
• Déterminer l'équation de la droite tangente à la courbe de la fonction logarithme népérien au point \(\text{A}\).
  
• On pourra utiliser le produit scalaire de deux vecteurs pour déterminer la condition de perpendicularité des deux droites.
  
• On ne demande pas de déterminer la valeur du minimum de \(\text{OA}\).